Линейные образы

2. Плоскость в пространстве

Лемма

Преобразование  системы координат не меняет степень уравнения алгебраической поверхности.

Без доказательства 

Теорема 4

Любое уравнение первой степени от трех неизвестных описывает плоскость в пространстве. Любая плоскость в пространстве описывается некоторым уравнением первой степени.

Д-во:

1. Рассмотрим уравнение:

   (33)

Пусть уравнение (33) описывает поверхность .

Пусть . Вычтем из (33) данное равенство:

                     (34).

Пусть вектор имеет координаты . Из (34) (если М – произвольная точка на поверхности, то данное расположение возможно, когда M “бегает” по плоскости) - плоскость.

2. Пусть - плоскость.

Введем  систему координат, в которой  плоскость  совпадает с плоскостью . В силу определения уравнения поверхности - уравнение первой степени. В силу леммы плоскость будет иметь уравнение первой степени в любой другой системе координат.

Теорема доказана 

Определение 

Уравнение (33) называется общим уравнением плоскости в пространстве.

Определение

Вектор  называется нормальным вектором плоскости с уравнением (33) или (34).

Определение

Уравнение (34) называется уравнением плоскости, проходящей через точку с данным нормальным вектором .